Valore attuale di flussi periodici (`tvm.present_value`)¶

Attualizza i flussi di cassa dei periodi da 1 a \(n\) di un piano, con un unico tasso per tutti i periodi oppure con un tasso diverso per ciascun periodo, e con i flussi collocati alla fine, a metà o all'inizio del rispettivo periodo. Restituisce il fattore di sconto e il valore attuale di ciascun flusso, e la loro somma. Serve quando il costo del capitale varia lungo l'orizzonte del piano, o quando la collocazione temporale dei flussi all'interno di ciascun periodo deve essere esplicita.

Formula¶

Con tassi di periodo \(r_1, \ldots, r_n\) (tutti uguali quando è fornito un unico rate), il fattore di sconto a fine periodo del periodo \(k\) è il prodotto dei fattori di periodo fino a \(k\):

\[ DF_k^{\text{end}} = \prod_{i=1}^{k} \frac{1}{1 + r_i}, \qquad DF_0^{\text{end}} = 1 \]

Le altre collocazioni partono dal fattore del periodo precedente:

\[ DF_k^{\text{mid}} = \frac{DF_{k-1}^{\text{end}}}{\sqrt{1 + r_k}} \qquad DF_k^{\text{beginning}} = DF_{k-1}^{\text{end}} \]

\[ PV = \sum_{k=1}^{n} CF_k \cdot DF_k \]

Collocazione	`timing`	Il flusso \(k\) avviene in
Fine periodo	`end_of_period`	\(t = k\)
Metà periodo	`mid_period`	\(t = k - 0.5\), mezzo periodo al tasso \(r_k\) dello stesso periodo
Inizio periodo	`beginning_of_period`	\(t = k - 1\)

Con un tasso costante e flussi a fine periodo il risultato coincide con tvm.npv degli stessi flussi preceduti da un flusso nullo in \(t = 0\).

Esempio¶

Tre flussi di 100 con tassi del 5%, 6% e 7% per i periodi da 1 a 3, con ciascuna collocazione:

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

flows = [100, 100, 100]
curve = ["0.05", "0.06", "0.07"]

end = fm.tvm.present_value(flows, period_rates=curve, timing="end_of_period")
mid = fm.tvm.present_value(flows, period_rates=curve, timing="mid_period")
beg = fm.tvm.present_value(flows, period_rates=curve, timing="beginning_of_period")

assert round(end.present_value, 18) == Decimal("269.054756446750804007")
assert abs(mid.present_value - Decimal("276.95204711016002295632")) < Decimal("1e-15")
assert round(beg.present_value, 18) == Decimal("285.085354896675651393")
print(end.discount_factors[1])  # 1 / (1.05 × 1.06) = 0.8984725965858041329739442947

Input¶

Campo	Significato	Default
`cash_flows`	Flussi di cassa dei periodi 1, 2, ..., n	obbligatorio
`rate`	Un unico tasso di attualizzazione per tutti i periodi, frazione decimale per periodo	fornire esattamente uno tra `rate` e `period_rates`
`period_rates`	Un tasso di attualizzazione per periodo (tassi forward di periodo), frazioni decimali; esattamente uno per flusso	fornire esattamente uno tra `rate` e `period_rates`
`timing`	`end_of_period`, `mid_period` oppure `beginning_of_period`	obbligatorio

Output¶

Campo	Significato
`present_value`	Somma dei valori attuali
`discount_factors`	Fattore di sconto applicato a ciascun flusso
`present_values`	Valore attuale di ciascun flusso

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Opzioni	Default
Collocazione temporale	fine periodo, metà periodo, inizio periodo	nessuno: deve essere scelta
Tassi	un unico tasso per tutti i periodi, oppure un tasso per periodo	nessuno: fornirne esattamente uno
Tassi di periodo	forward: \(r_k\) si applica solo al periodo \(k\)	fissa
Metà periodo	mezzo periodo al tasso dello stesso periodo, cioè una divisione per \(\sqrt{1 + r_k}\)	fissa

La collocazione temporale non ha un default perché la prassi varia: i business plan usano spesso la metà periodo, i contratti la fine periodo. Con un tasso costante, l'attualizzazione a metà periodo è il consueto \((1 + r)^{-(k - 0.5)}\).

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	Sono forniti entrambi o nessuno tra `rate` e `period_rates`, `period_rates` non contiene esattamente un tasso per flusso, oppure un campo è mancante o sconosciuto
`FM-E002`	`cash_flows` è vuoto
`FM-E003`	Un tasso di periodo è pari o inferiore a −100%
`FM-E008`	Overflow aritmetico (input molto al di fuori di un intervallo realistico)

Precisione¶

I fattori a fine periodo e a inizio periodo usano solo divisioni; rispetto a un calcolo indipendente a 60 cifre, concordano entro circa \(10^{-24}\) in termini relativi o meglio. I fattori a metà periodo usano la radice quadrata decimale, che concorda entro circa \(10^{-18}\) in termini relativi o meglio su input tipici. I casi di riferimento sono verificati entro \(10^{-18}\) per le collocazioni a fine e inizio periodo ed entro \(10^{-19}\) per la metà periodo.

Verificato con¶

Casi di riferimento (golden case) in tests/golden/tvm.present_value/, da un calcolo indipendente a 50 cifre (scripts/reference_time.py).
Con un tasso costante e flussi a fine periodo, concorda con la funzione NPV dei fogli di calcolo (Excel, LibreOffice), che attualizza il primo valore di un periodo, e con numpy_financial.npv applicato agli stessi flussi preceduti da un flusso nullo.

Valore attuale di flussi periodici (tvm.present_value)¶