Rendita perpetua (`tvm.perpetuity`)¶

Restituisce il valore attuale di un pagamento che prosegue a tempo indefinito, costante o crescente a un tasso costante inferiore al tasso di attualizzazione. La rendita perpetua crescente è il modello di crescita di Gordon, usato per il valore terminale e per il valore di flussi di dividendi stabili. I pagamenti iniziano alla fine del primo periodo (posticipata) oppure immediatamente (anticipata).

Formula¶

Il pagamento del periodo \(k\) è \(P (1 + g)^{k - 1}\). Per \(-1 < g < r\):

\[ PV_{\text{ordinary}} = \frac{P}{r - g} \qquad PV_{\text{due}} = \frac{P}{r - g}\,(1 + r) \]

Con \(g = 0\) la formula della rendita posticipata è \(P / r\). Quando \(g \ge r\) la serie non converge e il metodo restituisce un errore invece di un valore. Una crescita pari o inferiore a −100% annulla i pagamenti o ne alterna il segno, quindi è rifiutata come in tvm.annuity.

Esempio¶

Un primo pagamento di 100, crescente al 2%, attualizzato all'8% (Gordon), e una rendita perpetua anticipata costante di 100 all'8%:

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

gordon = fm.tvm.perpetuity(100, "0.08", timing="ordinary", growth="0.02")
assert round(gordon.present_value, 20) == Decimal("1666.66666666666666666667")

due = fm.tvm.perpetuity(100, "0.08", timing="due")
assert due.present_value == Decimal("1350")
print(due.conventions[-1])  # payment grows by 0 per period (default: level payments)

try:
    fm.tvm.perpetuity(100, "0.05", timing="ordinary", growth="0.05")
except fm.FairmarkError as err:
    assert err.code == "FM-E004"  # la crescita deve essere inferiore al tasso
    print(err.message)

Input¶

Campo	Significato	Default
`payment`	Primo pagamento	obbligatorio
`rate`	Tasso di attualizzazione per periodo, frazione decimale; deve essere superiore a `growth`	obbligatorio
`growth`	Crescita del pagamento per periodo, frazione decimale, superiore a −1	`0` (rendita perpetua costante)
`timing`	`ordinary` (primo pagamento in \(t = 1\)) oppure `due` (primo pagamento in \(t = 0\))	obbligatorio

Output¶

Campo	Significato
`present_value`	Valore attuale in \(t = 0\)

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Opzioni	Default
Collocazione temporale	posticipata, anticipata	nessuno: deve essere scelta
Crescita	superiore a −100% e inferiore al tasso	0, riportato come default

Il tasso e la crescita sono per periodo e devono riferirsi allo stesso periodo e alla stessa capitalizzazione.

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	`growth` è pari o inferiore a −100%, un campo è mancante o sconosciuto, oppure `timing` non è `ordinary` né `due`
`FM-E003`	Il tasso è pari o inferiore a −100%
`FM-E004`	La crescita è pari o superiore al tasso

Precisione¶

La formula usa una divisione e, per la rendita anticipata, una moltiplicazione. Rispetto a un calcolo indipendente a 60 cifre, concorda entro circa \(10^{-24}\) in termini relativi o meglio. I casi di riferimento sono verificati entro \(10^{-19}\).

Verificato con¶

Casi di riferimento (golden case) in tests/golden/tvm.perpetuity/, da un calcolo indipendente a 50 cifre (scripts/reference_time.py).
La formula chiusa è il modello di crescita di Gordon, la stessa formula usata per il valore terminale in dcf.fcff.

Rendita perpetua (tvm.perpetuity)¶