Valore terminale con orizzonte finito (`tv.limited_horizon`)¶

Restituisce il valore terminale all'orizzonte N di un flusso che dura un numero dato n di ulteriori periodi, seguito da un valore residuo in N + n. La prassi italiana usa questa forma quando il vantaggio competitivo, una concessione o una licenza hanno una durata limitata: al posto di una rendita perpetua, il flusso è valutato per n periodi espliciti. Il flusso è costante, oppure cresce a un tasso dato; il valore residuo è zero se non fornito. Il valore degli n flussi è il flusso moltiplicato per il fattore di rendita di tvm.annuity; si riutilizza solo il fattore, quindi non si calcola alcun valore in N + n.

Formula¶

Con il primo flusso \(CF_{N+1}\) alla fine del periodo N + 1:

\[ TV_N = CF_{N+1}\,\frac{1 - \left(\dfrac{1 + g}{1 + r}\right)^{n}}{r - g} + \frac{RV_{N+n}}{(1 + r)^{n}} \]

e \(CF_{N+1}\,n / (1 + r)\) per il primo termine quando \(g = r\). Al crescere di n il primo termine tende alla rendita perpetua \(CF_{N+1} / (r - g)\) quando \(g < r\).

Esempio¶

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

# Una licenza: flusso 100 per altri 10 periodi all'8%, nulla dopo
r = fm.tv.limited_horizon(100, "0.08", 10)
assert round(r.terminal_value, 10) == Decimal("671.0081398941")

# Flusso crescente, con un valore residuo di 500 in N + 5
g = fm.tv.limited_horizon(100, "0.10", 5, growth="0.02", residual_value=500)
assert round(g.residual_value_discounted, 10) == Decimal("310.4606615296")
print(g.conventions[3])  # residual value at N + 5: 500 (given)

# L'orizzonte più lungo, 10.000 periodi, coincide con la rendita perpetua 100 / 0,10
long = fm.tv.limited_horizon(100, "0.10", 10000)
assert long.terminal_value == Decimal("1000")

Input¶

Campo	Significato	Default
`flow`	Primo flusso dopo l'orizzonte, alla fine del periodo N + 1, in unità monetarie	obbligatorio
`rate`	Tasso di attualizzazione della fase terminale, frazione decimale per periodo, maggiore di −1	obbligatorio
`periods`	Numero di ulteriori periodi n, da 1 a 10.000	obbligatorio
`growth`	Crescita del flusso per periodo, frazione decimale, maggiore di −1	`0` (flusso costante)
`residual_value`	Valore residuo alla fine del periodo N + n, in unità monetarie	`0`
`growth_cap`	Limite alla crescita, frazione decimale per periodo	nessuno, riportato come assente

Output¶

Campo	Significato
`terminal_value`	Valore terminale in N, non attualizzato
`flows_value`	Valore in N dei flussi da N + 1 a N + n
`annuity_factor`	Valore in N di un primo flusso pari a 1
`discount_factor`	\((1 + r)^{-n}\)
`residual_value_discounted`	Valore residuo riportato in N
`growth_cap`	La crescita (0 se non fornita) confrontata con il limite; `null` senza limite

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Opzioni	Default
Profilo del flusso	costante, oppure crescente a `growth`	costante
Numero di periodi	input esplicito	nessuno: va fornito
Tempistica	fine dei periodi da N + 1 a N + n; valore residuo in N + n	fissa
Valore residuo	fornito, oppure 0	0, riportato come default

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	La crescita è pari o inferiore a −100%, oppure un campo manca o è sconosciuto
`FM-E003`	Il tasso è pari o inferiore a −100%
`FM-E018`	`periods` è fuori dall'intervallo da 1 a 10.000 (lo stesso codice per entrambi gli estremi)
`FM-E008`	Overflow aritmetico (input molto lontani da un intervallo realistico)

Precisione¶

Il valore dei flussi usa il fattore di rendita di tvm.annuity moltiplicato per il flusso; il valore residuo usa un fattore di sconto. Rispetto a una somma termine per termine a 50 cifre, i casi di riferimento coincidono a \(10^{-22}\), compreso un flusso di \(10^9\) su 600 periodi. È accettato ogni n da 1 a 10.000: non si calcola alcun valore in N + n, quindi gli orizzonti lunghi restano entro l'intervallo del tipo decimale. Quando \(((1 + g)/(1 + r))^n\) scende sotto la precisione del tipo decimale (circa \(10^{-28}\)), è considerato pari a 0, il suo limite, e un passaggio di explain lo dichiara; il valore coincide allora con la rendita perpetua entro quella precisione.

Verificato con¶

Casi di riferimento in tests/golden/tv.limited_horizon/, da un calcolo indipendente a 50 cifre che somma i flussi attualizzati uno per uno (scripts/reference_tv.py), non la forma chiusa usata dal motore.
Test unitari e Python verificano la convergenza alla rendita perpetua per orizzonti lunghi.

Valore terminale con orizzonte finito (tv.limited_horizon)¶