Tasso interno di rendimento modificato (`tvm.mirr`)¶

Restituisce il tasso interno di rendimento modificato (TIRM, MIRR) di una serie di flussi di cassa periodici: il tasso che porta il valore attuale delle uscite, finanziate a un tasso di finanziamento, al valore futuro delle entrate, reinvestite a un tasso di reinvestimento. A differenza del TIR, dichiara in modo esplicito i tassi ai quali il denaro viene preso a prestito e reinvestito, e ha sempre un unico valore. La definizione è quella della funzione MIRR dei fogli di calcolo.

Formula¶

Per i flussi \(CF_0, \ldots, CF_n\), il primo in \(t = 0\):

\[ PV^{-} = \sum_{CF_t < 0} \frac{CF_t}{(1 + r_{\text{fin}})^{t}} \qquad FV^{+} = \sum_{CF_t > 0} CF_t \,(1 + r_{\text{re}})^{\,n - t} \]

\[ MIRR = \left(\frac{FV^{+}}{-PV^{-}}\right)^{1/n} - 1 \]

dove \(r_{\text{fin}}\) è il tasso di finanziamento e \(r_{\text{re}}\) il tasso di reinvestimento, entrambi per periodo.

Esempio¶

Un investimento di 120000 seguito da cinque anni di proventi, finanziato al 10% e reinvestito al 12%. I valori pubblicati sono 12.6094%; considerando solo i primi tre anni, −4.8045%; con reinvestimento al 14%, 13.4759%.

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

flows = [-120000, 39000, 30000, 21000, 37000, 46000]

r = fm.tvm.mirr(flows, finance_rate="0.10", reinvest_rate="0.12")
assert round(r.mirr, 6) == Decimal("0.126094")
assert abs(r.mirr - Decimal("0.12609413036590514583")) < Decimal("1e-15")
print(r.pv_negative_flows)  # -120000
print(r.fv_positive_flows)  # 217297.49504000

three_years = fm.tvm.mirr(flows[:4], finance_rate="0.10", reinvest_rate="0.12")
assert round(three_years.mirr, 6) == Decimal("-0.048045")

reinvest_14 = fm.tvm.mirr(flows, finance_rate="0.10", reinvest_rate="0.14")
assert round(reinvest_14.mirr, 6) == Decimal("0.134759")

Input¶

Campo	Significato	Default
`cash_flows`	Flussi di cassa periodici, il primo in \(t = 0\); almeno due, con almeno un valore positivo e uno negativo	obbligatorio
`finance_rate`	Tasso pagato sul capitale investito (applicato ai flussi negativi), frazione decimale per periodo	obbligatorio
`reinvest_rate`	Tasso ottenuto sul reinvestimento dei flussi positivi, frazione decimale per periodo	obbligatorio

Output¶

Campo	Significato
`mirr`	Tasso interno di rendimento modificato per periodo, frazione decimale
`pv_negative_flows`	Valore attuale in \(t = 0\) dei flussi negativi, al tasso di finanziamento
`fv_positive_flows`	Valore in \(t = n\) dei flussi positivi, al tasso di reinvestimento

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Valore	Default
Origine dei tempi	`cash_flows[0]` in \(t = 0\), come in `tvm.npv`	fissa
Flussi negativi	attualizzati in \(t = 0\) al tasso di finanziamento	fisso
Flussi positivi	capitalizzati in \(t = n\) al tasso di reinvestimento	fisso
Tassi di finanziamento e di reinvestimento	input obbligatori	nessuno

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	Meno di due flussi di cassa, oppure un campo è mancante o sconosciuto
`FM-E003`	Il tasso di finanziamento o il tasso di reinvestimento è pari o inferiore a −100%; entrambi sono verificati prima di qualsiasi calcolo
`FM-E006`	I flussi non contengono alcun valore positivo o alcun valore negativo
`FM-E008`	Overflow aritmetico (input molto al di fuori di un intervallo realistico)

Precisione¶

Il valore attuale e il valore futuro usano potenze intere esatte; rispetto a un calcolo indipendente a 60 cifre, concordano entro circa \(10^{-24}\) in termini relativi o meglio. La radice \(n\)-esima è calcolata come \(\exp(\ln(x)/n)\) con il logaritmo e l'esponenziale decimali, che concordano entro circa \(10^{-18}\) in termini relativi o meglio su input tipici. I casi di riferimento sono verificati entro \(10^{-19}\).

Verificato con¶

Esempi pubblicati: esempi della funzione MIRR di ECMA-376 / Excel, 12.6094%, −4.8045% e 13.4759%.
Concorda con la funzione MIRR di Excel e LibreOffice, numpy_financial.mirr e pyxirr.mirr.

Tasso interno di rendimento modificato (tvm.mirr)¶