Unlevering e relevering del beta (`coc.beta_relever`)¶

Converte un beta dalla forma unlevered (beta dell'attivo, o asset beta) alla forma levered (beta del capitale proprio) a una data struttura finanziaria, o viceversa. Serve per il relevering del beta di settore o delle società comparabili al rapporto D/E obiettivo della società oggetto di valutazione, oppure per l'unlevering di un beta osservato.

Formula¶

\[ \beta_L = \beta_U + (\beta_U - \beta_D)\, k \qquad \beta_U = \frac{\beta_L + \beta_D\, k}{1 + k} \]

\[ k = (1 - t)\,\frac{D}{E}\ \text{(Hamada)} \qquad k = \frac{D}{E}\ \text{(Harris-Pringle)} \]

dove \(\beta_L\) è il beta levered, \(\beta_U\) il beta unlevered, \(\beta_D\) il beta del debito, \(D/E\) il rapporto tra debito e capitale proprio e \(t\) l'aliquota fiscale dello scudo fiscale. Con \(\beta_D = 0\) si ottengono le note espressioni \(\beta_L = \beta_U [1 + (1 - t) D/E]\) e \(\beta_L = \beta_U (1 + D/E)\).

Scelta della formula¶

Hamada assume un debito costante in valore assoluto: lo scudo fiscale ha quindi lo stesso rischio del debito e riduce l'effetto della leva del fattore \((1 - t)\). Harris-Pringle assume un debito ribilanciato verso un rapporto obiettivo: lo scudo fiscale ha il rischio delle attività operative e l'aliquota fiscale non entra nella formula. Un beta del debito positivo riconosce che il debito di una società indebitata sopporta parte del rischio d'impresa; a parità di beta unlevered riduce il beta levered, mentre il default pari a 0 tratta il debito come privo di rischio.

Esempio¶

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

# Hamada, debito privo di rischio: 0.8 × (1 + (1 − 0.24) × 0.5)
r = fm.coc.beta_relever(
    "0.8", direction="relever", debt_to_equity="0.5", tax_rate="0.24", formula="hamada"
)
assert r.beta == Decimal("1.104")
print(r.conventions[1])  # debt beta 0 (default: risk-free debt)

# Harris-Pringle con beta del debito 0.2: 0.8 + (0.8 − 0.2) × 0.5
hp = fm.coc.beta_relever(
    "0.8",
    direction="relever",
    debt_to_equity="0.5",
    tax_rate="0.24",
    formula="harris_pringle",
    debt_beta="0.2",
)
assert hp.beta == Decimal("1.1")

# Hamada, unlevering con beta del debito 0.1: 1.245 / 1.45
u = fm.coc.beta_relever(
    "1.2",
    direction="unlever",
    debt_to_equity="0.6",
    tax_rate="0.25",
    formula="hamada",
    debt_beta="0.1",
)
assert u.beta == Decimal("0.8586206896551724137931034483")

Input¶

Campo	Significato	Default
`beta`	Beta da convertire: unlevered per `relever`, levered per `unlever`; adimensionale	obbligatorio
`direction`	`relever` oppure `unlever`	obbligatorio
`debt_to_equity`	Rapporto tra debito e capitale proprio D/E, decimale (0.5 = debito pari alla metà del capitale proprio), non negativo	obbligatorio
`tax_rate`	Aliquota fiscale dello scudo fiscale, frazione decimale da 0 (incluso) a 1 (escluso)	obbligatorio
`formula`	`hamada` oppure `harris_pringle`	obbligatorio
`debt_beta`	Beta del debito, adimensionale	`0` (debito privo di rischio)

L'aliquota fiscale è quella che l'analista considera deducibile ai fini dello scudo fiscale; il motore non applica alcuna logica fiscale specifica (per le società italiane, l'inclusione dell'IRAP si decide nell'aliquota fornita). Harris-Pringle non la utilizza, ma l'aliquota viene comunque validata e riportata.

Output¶

Campo	Significato
`beta`	Il beta convertito: levered per `relever`, unlevered per `unlever`

I passaggi mostrano il fattore di leva \(k\) e il beta convertito.

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Opzioni	Default
Formula	Hamada, Harris-Pringle	nessuno: va scelta
Beta del debito	qualsiasi valore	0, debito privo di rischio

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	Il rapporto D/E è negativo, l'aliquota fiscale non è compresa tra 0 (incluso) e 1 (escluso), la formula o la direzione non è tra le opzioni elencate, oppure un campo è mancante o sconosciuto
`FM-E008`	Overflow aritmetico (input molto al di fuori di un intervallo realistico)

Precisione¶

Le formule sono razionali: i risultati sono esatti fino alle 28 cifre significative del tipo decimale. Applicando l'unlevering e poi il relevering alla stessa struttura si ottiene il beta originale entro \(10^{-26}\) (property test, entrambe le formule, con e senza beta del debito).

Verificato con¶

Esempi pubblicati (Damodaran, slide pubbliche dei corsi alla NYU Stern): Tata Motors, beta unlevered 0.8601, con relevering a D/E 41.41% e aliquota 32.45%, dà 1.1007; un beta mediano di 1.24, con unlevering a D/E lordo 27.06% e aliquota 40%, dà 1.0668. Entrambi sono golden case. Le stesse slide riportano la versione con beta del debito, algebricamente identica a quella usata qui.
Casi di riferimento (golden case) in tests/golden/coc.beta_relever/, i cui valori attesi sono calcoli in forma chiusa esplicitati in ciascun file.
Le formule di Hamada e di Harris-Pringle, con e senza beta del debito, nella forma comunemente pubblicata.

Unlevering e relevering del beta (coc.beta_relever)¶