Conversione di tassi (`rates.convert`)¶

Converte un tasso annuo espresso con una convenzione di capitalizzazione nel tasso annuo equivalente espresso con un'altra. Due tassi sono equivalenti quando producono la stessa crescita di un'unità di capitale in un anno. Serve per riconciliare il tasso di un finanziamento a capitalizzazione mensile con un costo del capitale espresso come tasso annuo effettivo, oppure per passare da tassi periodali a tassi a capitalizzazione continua prima dell'attualizzazione.

Formula¶

La crescita di un'unità in un anno al tasso \(r\) con \(m\) periodi di capitalizzazione all'anno è

\[ G = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m} \qquad\text{or}\qquad G = e^{r}\ \text{(continuous compounding)} \]

Il tasso equivalente con capitalizzazione di destinazione \(m'\) è

\[ r' = m' \left(G^{1/m'} - 1\right) \qquad\text{or}\qquad r' = \ln G\ \text{(continuous compounding)} \]

Per una destinazione annuale (\(m' = 1\)) si ha semplicemente \(r' = G - 1\).

Capitalizzazione	Valore di `from` / `to`	\(m\)
Annuale (tasso annuo effettivo)	`annual`	1
Semestrale	`semi_annual`	2
Trimestrale	`quarterly`	4
Mensile	`monthly`	12
Continua	`continuous`	nessuno, crescita \(e^{r}\)

Esempio¶

Un tasso del 12% annuo a capitalizzazione mensile corrisponde a un tasso annuo effettivo di \((1 + 0.12/12)^{12} - 1 = 12.6825\ldots\%\). Il calcolo usa solo potenze intere, quindi il risultato è esatto alle 28 cifre del tipo decimale.

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

r = fm.rates.convert("0.12", "monthly", "annual")
print(r.rate)                  # 0.126825030131969720661201
print(r.annual_growth_factor)  # 1.126825030131969720661201
assert r.rate == Decimal("1.01") ** 12 - 1

# 10% annuo effettivo come tasso a capitalizzazione continua: ln(1.1).
c = fm.rates.convert("0.10", "annual", "continuous")
assert abs(c.rate - Decimal("0.09531017980432486004")) < Decimal("1e-15")

In Python l'argomento per la capitalizzazione di partenza è from_ (con il trattino basso finale, perché from è una parola riservata di Python); in JSON, nella CLI e nel server MCP il campo è from.

Input¶

Campo	Significato	Default
`rate`	Tasso annuo come frazione decimale (0.12 = 12% annuo), espresso con la capitalizzazione `from`	obbligatorio
`from`	Capitalizzazione del tasso fornito	obbligatorio
`to`	Capitalizzazione del tasso da restituire	obbligatorio

Output¶

Campo	Significato
`rate`	Tasso annuo equivalente con capitalizzazione `to`, frazione decimale
`annual_growth_factor`	Crescita di un'unità in un anno, identica per i due tassi

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Opzioni	Default
Capitalizzazione di partenza (`from`)	annuale, semestrale, trimestrale, mensile, continua	nessuno: un tasso senza la sua capitalizzazione è ambiguo
Capitalizzazione di destinazione (`to`)	stesse opzioni	nessuno
Espressione del tasso	i tassi sono sempre espressi su base annua: un tasso di 0.12 a capitalizzazione mensile significa 1% al mese	fissa

Quando from e to coincidono il tasso viene restituito invariato.

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	Un campo è mancante o sconosciuto, oppure una capitalizzazione non è una delle cinque opzioni
`FM-E003`	Il tasso per periodo di capitalizzazione, \(r/m\), è pari o inferiore a −100%
`FM-E008`	L'esponenziale o il logaritmo va in overflow (tassi molto al di fuori di un intervallo realistico)

Precisione¶

La conversione in tasso annuo a partire da un tasso periodale usa potenze intere esatte; rispetto a un calcolo indipendente a 60 cifre, concorda entro circa \(10^{-24}\) in termini relativi o meglio. Le conversioni che coinvolgono la capitalizzazione continua o una destinazione non annuale usano l'esponenziale e il logaritmo decimali, che concordano entro circa \(10^{-18}\) in termini relativi o meglio su input tipici. Una conversione seguita dalla sua inversa restituisce il tasso originale entro \(10^{-20}\). I casi di riferimento sono verificati entro \(10^{-19}\).

Verificato con¶

Casi di riferimento (golden case) in tests/golden/rates.convert/, da un calcolo indipendente a 50 cifre (scripts/reference_time.py).
Le conversioni tra una capitalizzazione periodale e annual concordano con le funzioni EFFECT e NOMINAL dei fogli di calcolo (Excel, LibreOffice).

Conversione di tassi (rates.convert)¶