Numero delle rate (`loans.number_of_instalments`)¶

Restituisce quante rate di un importo dato rimborsano un finanziamento: il numero esatto di periodi, il numero intero delle rate e l'importo dell'ultima rata, che porta il debito residuo esattamente a zero. Si usa quando il debitore può sostenere una certa rata e la domanda è quanto dura il finanziamento.

Formula¶

Con il tasso periodico \(i\), il capitale \(P\) e la rata \(A\):

\[ n^* = \frac{-\ln\left(1 - \dfrac{i\,P'}{A}\right)}{\ln(1 + i)} \qquad P' = \begin{cases} P & \text{rata posticipata} \\ P / (1 + i) & \text{rata anticipata} \end{cases} \qquad n^* = \frac{P}{A} \text{ quando } i = 0 \]

Il numero delle rate è \(N = \lceil n^* \rceil\). L'ultima rata è l'importo dovuto alla sua data di pagamento, dalla ricorrenza del debito residuo:

\[ b_1 = P\,(1 + i) \text{ (posticipata) oppure } P \text{ (anticipata)}, \qquad b_k = (b_{k-1} - A)(1 + i), \qquad \text{ultima rata} = b_N \]

Il tasso periodico si ricava come in loans.instalment: un tasso annuo nominale con capitalizzazione e periodicità della rata, oppure un tasso periodico.

Esempio¶

Un finanziamento di 3.000 al 2% trimestrale rimborsato con rate trimestrali di 800 richiede quattro rate, l'ultima inferiore alle altre:

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

term = fm.loans.number_of_instalments(3000, 800, periodic_rate="0.02", timing="ordinary")
assert term.number_of_instalments == 4
assert term.final_instalment == Decimal("750.01008")  # (((3000 x 1.02 - 800) x 1.02 - 800) x 1.02 - 800) x 1.02
assert abs(term.exact_number_of_periods - Decimal("3.936929191448856778307291")) < Decimal("1e-20")

# Rate mensili anticipate di 500, tasso annuo effettivo del 7%.
advance = fm.loans.number_of_instalments(
    15000, 500, rate="0.07", compounding="annual", payment_frequency="monthly", timing="due"
)
assert advance.number_of_instalments == 33

Input¶

Campo	Significato	Default
`principal`	Capitale finanziato, in unità di valuta, maggiore di 0	obbligatorio
`rate`, `compounding`, `payment_frequency`	Tasso annuo nominale con la sua capitalizzazione e il numero di rate all'anno (forma a)	una forma di tasso obbligatoria
`periodic_rate`	Tasso per periodo di pagamento, frazione decimale, maggiore di −1 (forma b)	una forma di tasso obbligatoria
`instalment`	Rata costante, in unità di valuta	obbligatorio
`timing`	`ordinary` (rata posticipata) o `due` (rata anticipata)	obbligatorio

Questa versione del metodo non accetta un balloon.

Output¶

Campo	Significato
`periodic_rate`	Tasso per periodo di pagamento utilizzato
`exact_number_of_periods`	\(n^*\)
`number_of_instalments`	\(N = \lceil n^* \rceil\), da 1 a 10000
`final_instalment`	Importo dell'ultima rata, che porta il debito residuo a zero

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Opzioni	Default
Forma del tasso	(a) tasso annuo con capitalizzazione e periodicità della rata, oppure (b) tasso periodico	esattamente una, obbligatoria
Momento di pagamento	`ordinary`, `due`	nessuno: va scelto
Numero intero di periodi	un \(n^*\) entro \(10^{-20}\) da un intero è considerato pari a quell'intero; \(N\) è poi confermato dalla ricorrenza del debito residuo: la prima rata il cui importo dovuto supera \(A\) al massimo di \(10^{-20}\) del capitale	fissa
Ultima rata	importo dovuto alla sua data di pagamento, debito residuo esattamente zero: inferiore ad \(A\) quando \(n^\) non è intero, superiore ad \(A\) al massimo di \(10^{-20}\) del capitale quando \(n^\) è considerato intero	fissa
Tasso zero	\(n^* = P / A\), mostrato come passaggio separato	applicato quando \(i = 0\)

La tolleranza sui numeri interi e la ricorrenza esistono perché una rata calcolata a piena precisione da loans.instalment restituisca il proprio numero di rate, invece di una rata in più pari a una frazione di centesimo.

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	Capitale pari a 0 o negativo, più di 10000 rate necessarie, forma di tasso incompleta o doppia, un campo `balloon_amount`, oppure un campo mancante o sconosciuto
`FM-E003`	Il tasso periodico è pari o inferiore a −100%
`FM-E021`	La rata è pari a 0 o negativa, oppure non supera \(i\,P'\), la quota interessi del primo periodo, qualunque sia il segno del tasso: il debito residuo non arriva mai a zero
`FM-E008`	Overflow aritmetico (input molto al di fuori di un intervallo realistico)

Precisione¶

\(n^*\) si calcola come \(q \times \dfrac{\ln(1 - i q)/(-i q)}{\ln(1 + i)/i}\) con \(q = P'/A\): i rapporti \(\ln(1 + x)/x\) si sommano dalla loro serie quando \(|x| < 0.01\), quindi anche i tassi piccoli, positivi o negativi, conservano tutte le cifre; \(n^*\) coincide con un riferimento indipendente a 50 cifre entro circa \(10^{-24}\), anche con tassi di \(\pm 10^{-9}\) e \(-10^{-11}\) per periodo. Il numero delle rate e l'ultima rata non dipendono da questa precisione: \(N\) è confermato dalla ricorrenza del debito residuo, che usa solo moltiplicazioni e sottrazioni ed è esatta fino all'ultima delle 28 cifre significative del motore. I casi di riferimento sono verificati a \(10^{-20}\).

Verificato con¶

Casi di riferimento in tests/golden/loans.number_of_instalments/, da un riferimento indipendente a 50 cifre (scripts/reference_loans.py), compresa la rata dell'esempio svolto di ECMA-376, che restituisce esattamente 10 rate, e tassi negativi piccoli su 1200 e 10000 periodi.
La funzione del numero di periodi di numpy_financial su finanziamenti casuali, per entrambi i momenti di pagamento.

Numero delle rate (loans.number_of_instalments)¶