Rendita (`tvm.annuity`)¶

Restituisce il valore attuale, il valore futuro e il fattore di rendita di una serie di \(n\) pagamenti periodici, costanti o crescenti a un tasso costante, corrisposti alla fine di ciascun periodo (rendita posticipata) o all'inizio (rendita anticipata). Si usa per canoni di leasing, piani di rateizzazione, royalty costanti o qualsiasi serie di pagamenti con un numero fisso di periodi.

Formula¶

Il pagamento del periodo \(k\) è \(P (1 + g)^{k - 1}\). Per una rendita posticipata (pagamenti in \(t = 1, \ldots, n\)):

\[ PV_{\text{ordinary}} = \begin{cases} P \, \dfrac{1 - \left(\dfrac{1 + g}{1 + r}\right)^{n}}{r - g} & r \ne g \\[2ex] P \, \dfrac{n}{1 + r} & r = g \end{cases} \]

Una rendita anticipata (pagamenti in \(t = 0, \ldots, n - 1\)) vale un periodo in più:

\[ PV_{\text{due}} = PV_{\text{ordinary}} \,(1 + r) \qquad FV = PV \,(1 + r)^{n} \]

Il fattore è il valore attuale di un primo pagamento pari a 1. Con \(g = 0\) la formula della rendita posticipata è la consueta \(P \left[1 - (1 + r)^{-n}\right] / r\).

Quando \(r\) e \(g\) differiscono per meno di \(10^{-9}\), la formula chiusa perde cifre per cancellazione sia al numeratore sia al denominatore. Il fattore è allora calcolato sommando direttamente la serie:

\[ PV_{\text{ordinary}} = \frac{P}{1 + r} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1 + g}{1 + r}\right)^{k - 1} \]

Esempio¶

Un pagamento di 1000 per 10 periodi al 5%, posticipato e anticipato, e una rendita crescente di 20 pagamenti a partire da 1000, con crescita del 3%, attualizzata all'8%:

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

ordinary = fm.tvm.annuity(1000, "0.05", 10, timing="ordinary")
due = fm.tvm.annuity(1000, "0.05", 10, timing="due")
growing = fm.tvm.annuity(1000, "0.08", 20, timing="ordinary", growth="0.03")

assert abs(ordinary.present_value - Decimal("7721.73492918481251282906")) < Decimal("1e-15")
assert abs(due.present_value - Decimal("8107.82167564405313847052")) < Decimal("1e-15")
assert abs(growing.present_value - Decimal("12250.04144458699209117333")) < Decimal("1e-15")
print(ordinary.conventions[-1])  # payment grows by 0 per period (default: level payments)

# Caso limite tasso = crescita: n P / (1 + r).
limit = fm.tvm.annuity(1000, "0.06", 15, timing="ordinary", growth="0.06")
assert round(limit.present_value, 20) == Decimal("14150.94339622641509433962")

Input¶

Campo	Significato	Default
`payment`	Primo pagamento	obbligatorio
`rate`	Tasso di attualizzazione per periodo, frazione decimale	obbligatorio
`periods`	Numero di pagamenti, da 1 a 10000	obbligatorio
`growth`	Crescita del pagamento per periodo, frazione decimale, superiore a −1	`0` (rendita costante)
`timing`	`ordinary` (fine di ciascun periodo, rendita posticipata) oppure `due` (inizio di ciascun periodo, rendita anticipata)	obbligatorio

Output¶

Campo	Significato
`present_value`	Valore attuale in \(t = 0\)
`future_value`	Valore in \(t = n\) degli stessi pagamenti: valore attuale \(\times (1 + r)^n\)
`factor`	Valore attuale di un primo pagamento pari a 1

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Opzioni	Default
Collocazione temporale	posticipata, anticipata	nessuno: deve essere scelta
Crescita	qualsiasi tasso superiore a −100%	0, riportato come default
Tasso uguale alla crescita	limite \(n / (1 + r)\), mostrato come passaggio separato	applicato quando \(r = g\)
Tasso prossimo alla crescita	somma diretta, mostrata come passaggio separato	applicata quando \(\lvert r - g \rvert < 10^{-9}\)
Data del valore futuro	\(t = n\) per entrambe le collocazioni	fissa

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	`periods` è 0 o superiore a 10000, `growth` è pari o inferiore a −100%, oppure un campo è mancante o sconosciuto
`FM-E003`	Il tasso è pari o inferiore a −100%
`FM-E008`	Overflow aritmetico (input molto al di fuori di un intervallo realistico)

Precisione¶

La formula chiusa e la somma diretta usano solo potenze intere, moltiplicazioni e divisioni. Rispetto a un calcolo indipendente a 60 cifre, concordano entro circa \(10^{-24}\) in termini relativi o meglio. I casi di riferimento sono verificati entro \(10^{-19}\).

Il fattore di rendita (il valore attuale di un flusso pari a 1 per periodo, in crescita al tasso \(g\)) è condiviso con tv.limited_horizon, che lo moltiplica per il flusso senza calcolare il montante: il suo intervallo di periodi non è quindi limitato dal montante in \(t = n\).

Verificato con¶

Casi di riferimento (golden case) in tests/golden/tvm.annuity/, da un calcolo indipendente a 50 cifre (scripts/reference_time.py).
Le rendite costanti concordano con le funzioni PV e FV dei fogli di calcolo (Excel, LibreOffice) e con numpy_financial.pv e numpy_financial.fv, posticipate e anticipate.

Rendita (tvm.annuity)¶