Tasso interno di rendimento (`tvm.irr`)¶

Trova il tasso per periodo al quale il valore attuale netto di una serie di flussi di cassa periodici è nullo. L'algoritmo è deterministico: esplora una griglia fissa di tassi, rifiuta gli input per i quali più di un tasso risolve l'equazione e dichiara se l'unicità del tasso restituito è dimostrata. Per flussi in date di calendario usa tvm.xirr; per dichiarare in modo esplicito i tassi di finanziamento e di reinvestimento usa tvm.mirr.

Versione del metodo: 2. La versione 2 aggiunge la scansione su griglia, la verifica di unicità, l'output uniqueness_verified e l'errore FM-E011. Gli input con un solo cambio di segno e un TIR compreso nella griglia danno lo stesso risultato della versione 1; gli input il cui unico tasso è fuori dalla griglia mentre i flussi cambiano segno più di una volta ora restituiscono FM-E011, e i risultati a tassi negativi possono differire nelle ultime cifre (i fattori di sconto sono calcolati dal reciproco della base).

Formula¶

Trova \(r\) tale che

\[ \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t} = 0 \]

Il primo flusso avviene in \(t = 0\), come in tvm.npv.

Esempio¶

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

r = fm.tvm.irr([-1000, 300, 400, 500])
print(r.irr)                  # 0.0889633946933499353177656797
print(r.uniqueness_verified)  # True: un solo cambio di segno nei flussi
print(r.solver, r.iterations) # newton 5
assert abs(r.irr - Decimal("0.088963394693")) < Decimal("0.000000000001")

# I flussi -100, 230, -132 hanno due TIR, 10% e 20%: il motore rifiuta di sceglierne uno.
try:
    fm.tvm.irr([-100, 230, -132])
except fm.FairmarkError as err:
    assert err.code == "FM-E011"
    print(err.message)  # ... in the intervals {0.10}, {0.20}; the result is ambiguous

# Tre cambi di segno, un tasso isolato sulla griglia (50%); un'ulteriore coppia non si può escludere.
# Qui una coppia esiste (11% e 12%), quindi il risultato è segnalato.
flagged = fm.tvm.irr(["-1", "3.73", "-4.5882", "1.8648"])
assert not flagged.uniqueness_verified
print(flagged.conventions[-1])  # uniqueness not verified: the flows change sign 3 times; ...

Algoritmo¶

Scansione su griglia. Il VAN è valutato su una griglia fissa di tassi: −0.99, −0.95, poi da −0.90 a 1.00 con passo 0.05, poi da 1.25 a 10 con passo 0.25 (ADR 0008). Un punto della griglia in cui il calcolo va in overflow viene saltato. Ogni cambio di segno tra punti consecutivi della griglia, e ogni punto della griglia in cui il VAN è esattamente zero, è una radice trovata.

Verifica di unicità. Le radici trovate sono confrontate con il numero \(s\) di cambi di segno nei flussi. Per la regola dei segni di Cartesio, il numero di tassi superiori a −100% è pari a \(s\) meno un numero pari. Quindi:

Radici trovate sulla griglia	Cambi di segno \(s\)	Risultato
più di una	qualsiasi	`FM-E011`, con gli intervalli
una	\(s - 1\) dispari	`FM-E011`: esiste almeno un altro tasso
nessuna	\(s > 1\)	`FM-E011`: esistono zero o più tassi
una	\(s - 1\) pari e positivo	tasso restituito, `uniqueness_verified = false`
una o nessuna	\(s = 1\)	tasso restituito, `uniqueness_verified = true`

Raffinamento. Con un solo intervallo, il metodo di Newton parte da guess (predefinito 0.10) e il suo risultato è accettato solo all'interno dell'intervallo; altrimenti si applica la bisezione all'interno dell'intervallo. Una radice che cade esattamente su un punto della griglia è restituita così com'è (algoritmo grid (exact root)). Senza intervalli e con \(s = 1\), il risultato del metodo di Newton a partire da guess è accettato solo se converge; altrimenti FM-E005.
Criterio di arresto. Le iterazioni si fermano quando il passo sul tasso è inferiore a \(10^{-18}\), al massimo 200 iterazioni per fase.

Il limite residuo è lo scarto pari: quando viene trovato un tasso e \(s - 1\) è pari e positivo, possono esistere ulteriori tassi a coppie (due radici nello stesso intervallo della griglia, oppure fuori dalla griglia). Non possono essere esclusi, e il risultato lo dichiara con uniqueness_verified = false e una convenzione. Quando il tasso è ambiguo, per la decisione preferisci il VAN al costo del capitale, oppure tvm.mirr.

Input¶

Campo	Significato	Default
`cash_flows`	Flussi di cassa, il primo in \(t = 0\); almeno uno positivo e uno negativo	obbligatorio
`guess`	Punto di partenza del metodo di Newton, frazione decimale per periodo	`0.10`

Output¶

Campo	Significato
`irr`	Tasso interno di rendimento per periodo, frazione decimale
`uniqueness_verified`	`true` quando nessun altro tasso può risolvere l'equazione; `false` quando non si possono escludere ulteriori tassi a coppie
`npv_at_irr`	VAN al tasso restituito (circa zero)
`solver`	`newton`, `bisection` oppure `grid (exact root)`
`iterations`	Iterazioni dell'algoritmo che ha prodotto il risultato
`tolerance`	Criterio di arresto sul passo del tasso, \(10^{-18}\)

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Valore	Default
Origine dei tempi	`cash_flows[0]` in \(t = 0\)	fissa
Griglia dell'algoritmo	−0.99, −0.95, da −0.90 a 1.00 passo 0.05, da 1.25 a 10 passo 0.25	fissa
Ordine degli algoritmi	metodo di Newton all'interno dell'intervallo della radice, bisezione come alternativa	fisso
Criterio di arresto	passo sul tasso inferiore a \(10^{-18}\), al massimo 200 iterazioni	fisso
Punto di partenza del metodo di Newton	`guess`, riportato come fornito o come default	`0.10`
Unicità	dimostrata, oppure non verificata con il motivo	riportata in ogni risultato

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	Un campo è mancante o sconosciuto
`FM-E002`	`cash_flows` è vuoto
`FM-E005`	Nessuna radice è stata isolata sulla griglia e il metodo di Newton a partire da `guess` non converge
`FM-E006`	I flussi non presentano cambi di segno
`FM-E008`	Overflow aritmetico durante il raffinamento della radice
`FM-E011`	Più di un tasso annulla il VAN, oppure è noto che esiste un altro tasso; il messaggio elenca gli intervalli

Precisione¶

Ogni valutazione del VAN usa solo potenze intere; rispetto a un calcolo indipendente a 60 cifre, queste operazioni concordano entro circa \(10^{-24}\) in termini relativi o meglio. La tolleranza di \(10^{-18}\) è un criterio di arresto sul passo del tasso, non un limite all'errore: per una radice semplice il tasso restituito è preciso all'incirca entro quel passo, mentre vicino a una radice doppia (due tassi molto vicini tra loro) la precisione è minore. I casi di riferimento sono verificati entro \(10^{-12}\).

Verificato con¶

Casi di riferimento (golden case) in tests/golden/tvm.irr/, compreso un caso con due tassi ricavato dalle radici del polinomio (\(10\%\) e \(20\%\)).
Concorda con la funzione IRR dei fogli di calcolo (Excel, LibreOffice), numpy_financial.irr e pyxirr.irr sugli input con un solo tasso.

Tasso interno di rendimento (tvm.irr)¶