Beta da società comparabili (`coc.beta_peers`)¶

Stima il beta di una società non quotata a partire da società comparabili quotate (peers): esegue l'unlevering del beta osservato di ciascuna comparabile in base alla sua struttura finanziaria e alla sua aliquota fiscale, calcola la media o la mediana dei beta unlevered e applica il relevering alla statistica scelta in base alla struttura finanziaria obiettivo della società oggetto di valutazione. Le formule di unlevering e relevering sono quelle di coc.beta_relever.

Formula¶

\[ \beta_{U,i} = \frac{\beta_{L,i} + \beta_D\, k_i}{1 + k_i}, \qquad \bar\beta_U = \operatorname{mean}\ \text{or}\ \operatorname{median}(\beta_{U,i}), \qquad \beta_L = \bar\beta_U + (\bar\beta_U - \beta_D)\, k^{*} \]

dove \(k_i = (1 - t_i)\,(D/E)_i\) (Hamada) oppure \((D/E)_i\) (Harris-Pringle) per la comparabile \(i\), e \(k^{*}\) è lo stesso fattore calcolato al D/E obiettivo e all'aliquota fiscale della società. Con un numero pari di comparabili la mediana è la media dei due valori centrali.

Esempio¶

Unlevering di cinque comparabili con Hamada; relevering della mediana a D/E 0.5 con aliquota fiscale del 24%.

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

peers = [
    {"name": "Peer A", "levered_beta": "1.15", "debt_to_equity": "0.40", "tax_rate": "0.24"},
    {"name": "Peer B", "levered_beta": "0.95", "debt_to_equity": "0.20", "tax_rate": "0.25"},
    {"name": "Peer C", "levered_beta": "1.30", "debt_to_equity": "0.75", "tax_rate": "0.21"},
    {"name": "Peer D", "levered_beta": "1.05", "debt_to_equity": "0.35", "tax_rate": "0.24"},
    {"name": "Peer E", "levered_beta": "0.88", "debt_to_equity": "0.10", "tax_rate": "0.28"},
]
r = fm.coc.beta_peers(
    peers,
    formula="hamada",
    statistic="median",
    target_debt_to_equity="0.5",
    target_tax_rate="0.24",
)
# La mediana è Peer B: 0.95 / (1 + 0.75 × 0.2) = 0.95 / 1.15; relevering × (1 + 0.76 × 0.5)
assert r.median_unlevered_beta == Decimal("0.8260869565217391304347826087")
assert r.mean_unlevered_beta == Decimal("0.8349189472537530893029774557")
assert r.relevered_beta == Decimal("1.14")
print(r.conventions[-1])  # selected statistic: median (mean of the two central values ...)

Input¶

Campo	Significato	Default
`peers`	Società comparabili, almeno una: `{name, levered_beta, debt_to_equity, tax_rate}`; D/E non negativo, aliquota fiscale da 0 (incluso) a 1 (escluso); `name` è usato solo nella tracciabilità del calcolo	obbligatorio
`formula`	`hamada` oppure `harris_pringle`, usata sia per l'unlevering sia per il relevering	obbligatorio
`statistic`	`mean` (media) oppure `median` (mediana) dei beta unlevered	obbligatorio
`target_debt_to_equity`	D/E obiettivo della società oggetto di valutazione, decimale, non negativo	obbligatorio
`target_tax_rate`	Aliquota fiscale della società oggetto di valutazione, frazione decimale da 0 (incluso) a 1 (escluso)	obbligatorio
`debt_beta`	Beta del debito, adimensionale, applicato alle comparabili e alla società	`0` (debito privo di rischio)

Output¶

Campo	Significato
`unlevered_betas`	Beta unlevered di ciascuna comparabile, nell'ordine di input
`mean_unlevered_beta`	Media aritmetica dei beta unlevered
`median_unlevered_beta`	Mediana dei beta unlevered
`selected_unlevered_beta`	La statistica scelta con `statistic`
`relevered_beta`	Beta levered ottenuto con il relevering del beta unlevered selezionato alla struttura finanziaria obiettivo

Entrambe le statistiche sono sempre restituite, così che l'effetto della scelta sia visibile. I passaggi mostrano ciascuna comparabile per nome, entrambe le statistiche e il beta riportato a leva.

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Opzioni	Default
Formula	Hamada, Harris-Pringle	nessuno: va scelta
Statistica	media, mediana (media dei due valori centrali con un numero pari di comparabili)	nessuno: va scelta
Beta del debito	qualsiasi valore	0, debito privo di rischio

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	`peers` è vuoto, un rapporto D/E è negativo, un'aliquota fiscale non è compresa tra 0 (incluso) e 1 (escluso), un'opzione non è tra quelle elencate, oppure un campo è mancante o sconosciuto
`FM-E008`	Overflow aritmetico (input molto al di fuori di un intervallo realistico)

Precisione¶

Le formule sono razionali: i risultati sono esatti fino alle 28 cifre significative del tipo decimale. Il caso di riferimento è verificato entro \(3 \times 10^{-28}\).

Verificato con¶

Caso di riferimento (golden case) in tests/golden/coc.beta_peers/: forma chiusa per ciascuna comparabile esplicitata nel file, confermata da un calcolo indipendente a 50 cifre (scripts/reference_coc.py).
Le formule di Hamada e di Harris-Pringle nella forma comunemente pubblicata.

Beta da società comparabili (coc.beta_peers)¶