Rata di un finanziamento (`loans.instalment`)¶

Restituisce la rata costante di un finanziamento a partire dal capitale, dal tasso, dal numero delle rate e dal momento di pagamento, con un balloon facoltativo rimborsato insieme all'ultima rata e un arrotondamento facoltativo della rata. Si usa per inserire un nuovo debito bancario in un business plan o per verificare la rata indicata da un finanziatore.

Formula¶

Con il tasso periodico \(i\), il numero delle rate \(n\), il capitale \(P\) e il balloon \(B\) (pagato alla fine del periodo \(n\)), la rata \(A\) rende il valore attuale delle rate e del balloon pari al capitale:

\[ A_{\text{posticipata}} = \frac{\left(P - B\,(1 + i)^{-n}\right) i}{1 - (1 + i)^{-n}} \qquad A_{\text{anticipata}} = \frac{A_{\text{posticipata}}}{1 + i} \qquad A = \frac{P - B}{n} \text{ quando } i = 0 \]

Il motore calcola \(A\) come \((P - B\,(1 + i)^{-n})\) diviso il fattore di rendita di tvm.annuity: i due metodi condividono un'unica implementazione.

Il tasso periodico¶

Il tasso si indica in una sola di due forme:

Forma (a): un tasso annuo nominale (TAN) rate con la sua capitalizzazione compounding e la periodicità della rata payment_frequency (\(p\) rate all'anno). Il tasso periodico è il tasso equivalente con capitalizzazione pari alla periodicità della rata (come lo calcola rates.convert), diviso \(p\). Quando la capitalizzazione coincide con la periodicità della rata è semplicemente rate / \(p\): il 6% con capitalizzazione mensile e rate mensili dà lo 0,5% al mese.
Forma (b): un periodic_rate, il tasso per periodo di pagamento, come lo accetta tvm.annuity.

Non esiste una capitalizzazione predefinita: un tasso annuo nominale senza capitalizzazione non ha significato.

Esempio¶

L'esempio svolto di ECMA-376 (10.000 all'8% annuo, capitalizzazione mensile e rate mensili, 10 rate) e un finanziamento decennale con un balloon di 50.000, con la rata arrotondata al centesimo:

from decimal import Decimal

import fairmark as fm

monthly = {"rate": "0.08", "compounding": "monthly", "payment_frequency": "monthly"}
arrears = fm.loans.instalment(10000, 10, timing="ordinary", **monthly)
advance = fm.loans.instalment(10000, 10, timing="due", **monthly)
assert round(arrears.instalment, 2) == Decimal("1037.03")
assert round(advance.instalment, 2) == Decimal("1030.16")

balloon = fm.loans.instalment(
    250000, 120, rate="0.054", compounding="monthly", payment_frequency="monthly",
    timing="ordinary", balloon_amount=50000, decimal_places=2, rounding_mode="half_up",
)
assert balloon.instalment == Decimal("2385.63")
assert balloon.total_paid == Decimal("336275.60")  # 120 x 2385.63 + 50000
print(balloon.conventions[-2])  # rounding: 2 decimal places, half_up, applied to the instalment

# Lo stesso finanziamento con il tasso periodico indicato direttamente (forma b).
same = fm.loans.instalment(20000, 36, periodic_rate="0.005", timing="ordinary")
again = fm.loans.instalment(20000, 36, rate="0.06", compounding="monthly",
                            payment_frequency="monthly", timing="ordinary")
assert same.instalment == again.instalment

Input¶

Campo	Significato	Default
`principal`	Capitale finanziato, in unità di valuta, maggiore di 0	obbligatorio
`rate`	Tasso annuo nominale, frazione decimale (forma a)	una forma di tasso obbligatoria
`compounding`	Capitalizzazione di `rate`: `annual`, `semi_annual`, `quarterly`, `monthly`, `continuous` (forma a)	obbligatorio con `rate`
`payment_frequency`	Rate all'anno: `annual`, `semi_annual`, `quarterly`, `monthly` (forma a)	obbligatorio con `rate`
`periodic_rate`	Tasso per periodo di pagamento, frazione decimale, maggiore di −1 (forma b)	una forma di tasso obbligatoria
`number_of_instalments`	Da 1 a 10000	obbligatorio
`timing`	`ordinary` (rata posticipata) o `due` (rata anticipata)	obbligatorio
`balloon_amount`	Rimborsato alla fine dell'ultimo periodo oltre l'ultima rata, \(0 \le B < P\)	`0`
`rounding`	`decimal_places` (da 0 a 6) e `mode` (`half_up` o `half_even`), entrambi obbligatori	nessuno

Output¶

Campo	Significato
`instalment`	Rata costante (arrotondata quando è indicato `rounding`)
`periodic_rate`	Tasso per periodo di pagamento utilizzato
`total_paid`	\(n \times A + B\), con la rata restituita
`total_interest`	Totale pagato meno il capitale

Convenzioni (esplicite, riportate in `explain.conventions`)¶

Convenzione	Opzioni	Default
Forma del tasso	(a) tasso annuo con capitalizzazione e periodicità della rata, oppure (b) tasso periodico	esattamente una, obbligatoria
Tasso periodico (forma a)	tasso equivalente con capitalizzazione pari alla periodicità della rata, diviso il numero di rate all'anno	fissa
Momento di pagamento	`ordinary`: rata \(k\) alla fine del periodo \(k\); `due`: all'inizio	nessuno: va scelto
Balloon	pagato con l'ultima rata, alla fine del periodo \(n\) per entrambi i momenti di pagamento	0, riportato come default
Arrotondamento	nessuno, oppure da 0 a 6 decimali con `half_up` (la metà si arrotonda per eccesso in valore assoluto) o `half_even` (la metà si arrotonda alla cifra pari)	nessuno
Tasso zero	forma limite \((P - B) / n\), mostrata come passaggio separato	applicata quando \(i = 0\)

Con l'arrotondamento, l'ultima rata di un piano effettivo differisce dalle altre per l'arrotondamento accumulato: loans.amortisation_schedule calcola questa rettifica dell'ultima rata. Qui total_paid usa la rata arrotondata per ogni periodo.

Errori¶

Codice	Quando
`FM-E001`	Capitale pari a 0 o negativo, `number_of_instalments` pari a 0 o superiore a 10000, entrambe le forme di tasso, nessuna, forma (a) incompleta, `decimal_places` superiore a 6, arrotondamento senza modalità, oppure un campo mancante o sconosciuto
`FM-E003`	Il tasso periodico è pari o inferiore a −100%
`FM-E020`	Il balloon è negativo o non inferiore al capitale
`FM-E008`	Overflow aritmetico (input molto al di fuori di un intervallo realistico)

Precisione¶

La rata usa potenze intere, moltiplicazioni e divisioni, ed è esatta fino all'ultima delle 28 cifre significative del motore. Quando la capitalizzazione è diversa dalla periodicità della rata, la conversione usa le funzioni in serie della libreria decimale (errore relativo vicino a \(10^{-27}\)). I casi di riferimento sono verificati a \(10^{-20}\) rispetto a un riferimento indipendente a 50 cifre.

Verificato con¶

Casi di riferimento in tests/golden/loans.instalment/: l'esempio svolto di ECMA-376 della rata di un finanziamento (posticipata e anticipata) e un riferimento indipendente a 50 cifre (scripts/reference_loans.py).
La funzione della rata di un finanziamento di numpy_financial su finanziamenti casuali, per entrambi i momenti di pagamento, con il balloon come valore futuro.

Rata di un finanziamento (loans.instalment)¶